Transformation

矩阵乘法理解 ——

• 代数上，可以看成是方程组的系数抽成矩阵形式
• 几何上，直接把矩阵看成是做了一次线性变化（基底的变化）
  • 可以仅通过追踪基底的变化来找到对应的变化矩阵

Modeling Transformation

线性变化

$$x^{\prime }=ax+by,y^{\prime }=cx+dy$$

提取成

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

Scale Matrix

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

若 $s_x=s_y=s$，则表示在二维空间下均匀缩放 $s$ 倍。 若二者不相等，则表示在 $x$、$y$ 轴上分别缩放 $s_x$、$s_y$ 倍。

Reflection Matrix

关于 $y$ 轴反射

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

理解为，$x$轴方向相反，但是$y$轴不变

Shear Matrix

原先的 i, j 不互相垂直

Rotation Matrix

（绕原点进行旋转，默认逆时针）

$R_{\theta }$

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

平移变化

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right]$$

齐次坐标

把平移和线性变换统一为仿射变换，并用一次矩阵乘法表示。

对于每一个点 $(x,y)$，增加一个维度表示为 $(x,y,1)$。 对于每一个向量 $(x,y)$，增加一个维度表示为 $(x,y,0)$。

向量最后一个维度为 $0$，因此不会受到平移分量的影响；点最后一个维度为 $1$，因此会受到平移作用。

推广到一般形式，当 $w\ne 0$ 时，齐次坐标 $(x,y,w)$ 表示欧氏点

$$(\frac{x}{w},\frac{y}{w}),$$

并且对于任意 $\lambda \ne 0$，$(x,y,w)$ 与 $(\lambda x,\lambda y,\lambda w)$ 表示同一个点。

例如，对于一个点

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ w^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a& b& t_x\\ c& d& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

三维齐次坐标系同理

Viewing Transformation

相机

如何确认相机——

• Position —— $\overrightarrow{e}$
• LookAt —— $\overrightarrow{g}$
• Up —— $\overrightarrow{t}$

定义 ——（规避相对运动之类的麻烦，简化模型

• 相机位于$(0,0,0)$
• 相机沿着$-z$ 方向看
• 相机向上方向为$y$
• 移动的是Object

投影

正交投影（Orthographic Projection）

将对应z轴方向拿掉，就压缩到了(x, y)平面上；再scale到$[-1,1]$上，就形成了正交投影（最简）

正式做法：

1. 讲锚点移动到原点
2. 缩放成一个单位立方体 所以——得到变化矩阵为（假设锚点在中心）

$$M_{\mathrm{ortho}}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{r+l}{2}\\ 0& 1& 0& -\frac{t+b}{2}\\ 0& 0& 1& -\frac{n+f}{2}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

透视投影（Perspective Projection）

把原平面“挤压”成和近平面一样大小，然后做一次正交投影即可