PID

用途

PID 用于实现闭环控制。

闭环控制就是不断重复下面的过程：

设定目标值
读取传感器测量值
计算目标值和测量值的误差
根据误差计算控制量
将控制量输出给执行器

例如电机速度控制：

text

目标速度 -> PID -> PWM -> 电机 -> 编码器测得实际速度
    ^                                  |
    |__________________________________|

PID本身不会直接控制电机，它只负责根据误差计算输出值。输出值可以是PWM、力矩、电流等。

公式

连续PID公式：

u (t) = K_{p} e (t) + K_{i} \int_{0}^{t} e (τ) d τ + K_{d} \frac{d e (t)}{d t}

单片机中使用离散形式：

u_{k} = K_{p} e_{k} + K_{i} \sum_{j = 0}^{k} e_{j} T_{s} + K_{d} \frac{e_{k} - e_{k - 1}}{T_{s}}

其中：

$u_{k}$ ：本次PID输出
$e_{k}$ ：本次误差， $e_{k} = 目标值 - 测量值$
$e_{k - 1}$ ：上一次误差
$T_{s}$ ：PID计算周期
$K_{p}$ 、 $K_{i}$ 、 $K_{d}$ ：比例、积分、微分系数

如果PID调用周期固定，可以把 $T_{s}$ 合并到 $K_{i}$ 和 $K_{d}$ 中，简化为：

u_{k} = K_{p} e_{k} + K_{i} \sum_{j = 0}^{k} e_{j} + K_{d} (e_{k} - e_{k - 1})

细说三种控制作用

P、I、D严格来说不是三种算法，而是PID中的三种控制作用。

1. P：比例作用

P = K_{p} e_{k}

$e_{k} \to$ 当前误差。

误差越大，输出越大；误差越小，输出越小。P负责让系统快速靠近目标值，是PID最主要的部分。

$K_{p}$ 太小：响应慢，控制效果弱
$K_{p}$ 太大：容易超调、震荡
只有P：一般会留下稳态误差

例如电机受到摩擦力时，需要保持一定PWM才能继续转动。但是误差变小后，P的输出也会变小，最后可能停在一个不为0的误差上。

2. I：积分作用

I = K_{i} \sum_{j = 0}^{k} e_{j} T_{s}

$\sum e_{j} T_{s} \to$ 误差对时间的累积。

只要误差长时间不为0，积分值就会继续增加，直到产生足够的输出消除稳态误差。

$K_{i}$ 太小：消除稳态误差很慢
$K_{i}$ 太大：容易超调、低频震荡
输出长时间到达极限：容易形成积分饱和

积分不只是“精细控制”时才使用。只要系统存在持续的负载、摩擦或偏差，并且要求消除稳态误差，就可以使用积分。

3. D：微分作用

D = K_{d} \frac{e_{k} - e_{k - 1}}{T_{s}}

$e_{k} - e_{k - 1} \to$ 误差的变化量。

D根据误差的变化趋势提前进行抑制，相当于增加阻尼，减少超调，使测量值更平缓地接近目标值。

$K_{d}$ 太小：抑制超调的效果不明显
$K_{d}$ 太大：会放大传感器噪声，输出容易抖动
目标值突然变化：对误差微分可能产生“微分冲击”

当误差定义为“目标值 − 测量值”时， $K_{p}$ 、 $K_{i}$ 、 $K_{d}$ 通常都取正值，不需要故意让 $K_{d}$ 与 $K_{p}$ 符号相反。电机方向反了时，应统一修改执行器方向或误差方向。

位置式PID和增量式PID

位置式PID

位置式PID直接计算本次完整输出：

u_{k} = K_{p} e_{k} + K_{i} \sum e_{j} T_{s} + K_{d} \frac{e_{k} - e_{k - 1}}{T_{s}}

优点：含义直观，输出限幅方便。

缺点：积分项需要专门处理，否则容易积分饱和。

位置、角度、温度控制通常使用位置式PID。后面的串级PID也使用位置式PID。

增量式PID

增量式PID计算的是输出变化量：

Δ u_{k} = K_{p} (e_{k} - e_{k - 1}) + K_{i} e_{k} T_{s} + K_{d} \frac{e_{k} - 2 e_{k - 1} + e_{k - 2}}{T_{s}}

然后累加到原输出：

u_{k} = u_{k - 1} + Δ u_{k}

优点：每次只改变一部分输出，适合速度控制。

缺点：参数含义没有位置式直观，输出仍然需要限幅。

位置式PID的C语言实现

PID结构体

typedef struct
{
    float kp, ki, kd;
    float integral, last_error;
    float integral_limit, output_limit;
} PID_t;

限幅函数

static float Limit(float value, float limit)
{
    if (value > limit)  return limit;
    if (value < -limit) return -limit;
    return value;
}

PID计算

float PID_Calculate(PID_t *pid, float target, float measure, float dt)
{
    float error = target - measure;
    float derivative = (error - pid->last_error) / dt;

    pid->integral += error * dt;
    pid->integral = Limit(pid->integral, pid->integral_limit);
    pid->last_error = error;

    return Limit(pid->kp * error
               + pid->ki * pid->integral
               + pid->kd * derivative,
                 pid->output_limit);
}

电机停机或切换控制模式时，要把 integral 和 last_error 清零。

基础用法

假设控制周期为1ms，PID输出作为电机PWM：

PID_t speed_pid = {2.0f, 0.5f, 0.0f, 0, 0, 1000, 10000};

// 每1ms调用一次
void Motor_Control_1ms(void)
{
    float pwm = PID_Calculate(&speed_pid, 100.0f,
                              Encoder_GetSpeed(), 0.001f);
    Motor_SetPWM((int16_t)pwm);
}

PID_Calculate()必须以固定周期调用。周期不稳定时，微分项和积分项也会不稳定。

双串级PID：位置（方向）环-速度环

原理

在循迹小车中，“位置”不是电机转过的圈数，而是小车相对赛道中心线的位置。传感器得到的循迹偏差就是位置外环的误差。

text

循迹误差 -> [方向外环PD] -> 左右轮速度差
                              |
              基础速度 +-----+-----> 左轮目标速度 -> [左速度环PI] -> 左PWM
              基础速度 ------+-----> 右轮目标速度 -> [右速度环PI] -> 右PWM

方向外环输出 place_out。转弯时把它分别加到、减去左右轮的基础速度：

v_{l e f t}^{*} = v_{b a s e} + u_{p l a c e}

v_{r i g h t}^{*} = v_{b a s e} - u_{p l a c e}

这样一侧轮子加速、另一侧轮子减速，小车就会转向。实际应该哪边加、哪边减，取决于电机安装方向和循迹误差的正负定义。

外环使用PD：P根据当前偏差转向，D抑制方向变化过快。也可以加入陀螺仪Z轴角速度作为附加阻尼。

内层左右轮速度环使用增量式PI：

u_{k} = u_{k - 1} + K_{i} e_{k} + K_{p} (e_{k} - e_{k - 1})

核心代码

float place_out;
float place_last_error;

void place_pid(float error, float gyro_z)
{
    place_out = place_kp * error
              + place_kd * (error - place_last_error)
              - place_gyro_kd * gyro_z;
    place_last_error = error;
    place_out = Limit(place_out, 200.0f);
}

/* 左右轮共用一个增量式PI函数，各自保存历史数据 */
float speed_pi(float target, float measure,
               float *last_error, float *out)
{
    float error = target - measure;
    *out += speed_ki * error
          + speed_kp * (error - *last_error);
    *last_error = error;
    return *out = Limit(*out, 10000.0f);
}

调用顺序：先计算方向外环，再计算左右轮速度环，最后把 l_speed_out 和 r_speed_out 送给电机。

void car_control(void)
{
    place_pid(Get_Track_Error(), Get_Gyro_Z());
    float l_pwm = speed_pi(base_speed + place_out, Get_Left_Speed(),
                           &l_last_error, &l_out);
    float r_pwm = speed_pi(base_speed - place_out, Get_Right_Speed(),
                           &r_last_error, &r_out);
    Motor_SetPWM(l_pwm, r_pwm);
}

三串级PID：方向环-角速度环-速度环

原理

双串级中，方向外环直接改变左右轮目标速度。三串级在中间增加一个角速度环：

text

循迹误差 -> [方向外环PD] -> 期望Z轴角速度
                                  |
陀螺仪Z轴角速度 -> [角速度内环PD] -> 左右轮速度差修正量
                                          |
                      基础速度 +----------+-> 左速度环PI -> 左PWM
                      基础速度 -----------+-> 右速度环PI -> 右PWM

三层的任务分别是：

方向外环：根据循迹偏差决定小车应该以多大的角速度转向
角速度环：比较期望角速度和陀螺仪Z轴角速度，算出左右轮速度差
速度环：让左右电机分别跟随修正后的目标速度

相比双环，三环不是只凭循迹偏差“猜”一个左右轮速度差，而是增加陀螺仪反馈，直接控制小车实际转向的快慢。这样抗扰动更好，但参数更多，调试顺序也更重要。

核心代码

float outer_dir_out, outer_last_error;
float inner_dir_out, inner_last_error;

void outer_dir_pid(float error)
{
    outer_dir_out = outer_kp * error
                  + outer_kd * (error - outer_last_error);
    outer_last_error = error;
    outer_dir_out = Limit(outer_dir_out, 300.0f);
}

void inner_dir_pid(float gyro_z)
{
    float error = outer_dir_out - gyro_z;
    inner_dir_out = inner_kp * error
                  + inner_kd * (error - inner_last_error);
    inner_last_error = error;
    inner_dir_out = Limit(inner_dir_out, 200.0f);
}

速度环仍然使用双串级中的 speed_pi()，只是把修正量由 place_out 换成 inner_dir_out。完整调用顺序：

void car_control(void)
{
    outer_dir_pid(Get_Track_Error());
    inner_dir_pid(Get_Gyro_Z());
    float l_pwm = speed_pi(base_speed + inner_dir_out, Get_Left_Speed(),
                           &l_last_error, &l_out);
    float r_pwm = speed_pi(base_speed - inner_dir_out, Get_Right_Speed(),
                           &r_last_error, &r_out);
    Motor_SetPWM(l_pwm, r_pwm);
}

外环、中环和内环不一定要同频运行。一般越靠近电机的环频率越高，例如速度环1ms、角速度环2ms、方向外环5ms。若按不同频率执行，某一层未运行时就保持它上次的输出。

代码中的参数和正负号只是示例。若小车偏得越多却转得越偏，应先检查误差、陀螺仪和电机方向，不要直接把所有PID参数改成负数。

PID调参顺序

单环PID

先令 $K_{i} = 0$ 、 $K_{d} = 0$
从小到大增加 $K_{p}$ ，直到响应足够快，但还没有持续震荡
逐渐增加 $K_{i}$ ，消除稳态误差
如果超调较大，再适量增加 $K_{d}$
每次只调整一个参数，并记录响应曲线

并不是每个系统都需要完整的PID：

P：允许存在稳态误差时使用
PI：速度环、电流环中很常见
PD：位置环、角度环中常见
PID：同时要求响应速度、稳态精度和阻尼时使用

串级PID

串级PID必须从内到外调：

text

双环：左右轮速度环 -> 位置（方向）环
三环：左右轮速度环 -> 角速度环 -> 方向外环

调内环时，先断开或固定外环的输出。只有内环能够稳定跟随目标值后，才能继续调外环。

外环输出必须限幅，因为它会成为内环的目标值或目标值修正量。如果外环给出的期望角速度、左右轮速度差超过小车能力，内环就会长时间饱和，整个系统容易失控。

实际使用中的问题

1. 积分饱和

执行器已经输出到最大值，但误差仍存在，积分会继续累加。等系统接近目标值时，过大的积分仍会推动系统继续运动，产生严重超调。

最简单的处理方法是限制积分值，也可以在输出饱和时停止同方向积分。

2. 微分噪声

微分会放大传感器噪声。编码器速度或IMU数据抖动明显时，可以：

对测量值或微分项进行低通滤波
减小 $K_{d}$
不使用D，只使用PI或P

3. 输出死区

电机PWM较小时可能无法克服静摩擦。可以增加死区补偿，但补偿值过大会使电机在目标点附近来回抖动。

4. 单位必须统一

位置、速度、角度和角速度都要明确单位。单位改变后，PID参数也要重新调整。

5. 安全保护

真实设备至少要考虑：

PWM限幅
电流和温度保护
传感器异常检测
电机堵转检测
角度过大时停机
控制任务超时后关闭输出

PID只能计算控制量，不能代替安全保护。

总结

P看现在：误差有多大
I看过去：误差累积了多久
D看趋势：误差正在怎样变化

串级PID把一个复杂问题拆成多个简单问题：外环决定内环的目标，内环快速完成这个目标。

无论单环还是串级，都要先确认误差方向、运行周期、单位和输出范围，再开始调参。

内存模型

异步模型

内存管理

PID ​

用途 ​

公式 ​

细说三种控制作用 ​

1. P：比例作用 ​

2. I：积分作用 ​

3. D：微分作用 ​

位置式PID和增量式PID ​

位置式PID ​

增量式PID ​

位置式PID的C语言实现 ​

PID结构体 ​

限幅函数 ​

PID计算 ​

基础用法 ​

双串级PID：位置（方向）环-速度环 ​

原理 ​

核心代码 ​

三串级PID：方向环-角速度环-速度环 ​

原理 ​

核心代码 ​

PID调参顺序 ​

单环PID ​

串级PID ​

实际使用中的问题 ​

1. 积分饱和 ​

2. 微分噪声 ​

3. 输出死区 ​

4. 单位必须统一 ​

5. 安全保护 ​

总结 ​

PID

用途

公式

细说三种控制作用

1. P：比例作用

2. I：积分作用

3. D：微分作用

位置式PID和增量式PID

位置式PID

增量式PID

位置式PID的C语言实现

PID结构体

限幅函数

PID计算

基础用法

双串级PID：位置（方向）环-速度环

原理

核心代码

三串级PID：方向环-角速度环-速度环

原理

核心代码

PID调参顺序

单环PID

串级PID

实际使用中的问题

1. 积分饱和

2. 微分噪声

3. 输出死区

4. 单位必须统一

5. 安全保护

总结