BRDF

BRDF，全称 Bidirectional Reflectance Distribution Function，双向反射分布函数

很高级,不过实际上大体只是在说一件事情 —— 描述表面点 $\mathbf{x}$ 处，从入射方向 $\mathbf{L}$ 到观察方向 $\mathbf{V}$ 的光反射“比例“

好,还是很难懂 —— 类比成描述光从一个方向入射,那么会有多少光反射到相机(视角)所在的方向,这也是其“双向”名称的由来 ——

• 入射方向
• 出射方向

BRDF 需要以来这两个方向

公式

先来点”数里数气“的东西,下面是 BRDF 的数学定义——

$$f_r(x,{\omega }_i,{\omega }_o,\lambda )=\frac{d{L}_o^r(x,{\omega }_o,\lambda )}{d{E}_i(x,{\omega }_i,\lambda )}$$

其中 ——

• $d{E}_i$​：从入射方向带来的微小 Irradiance；
• $d{L}_o^r$​：由这份入射光产生的、沿出射方向离开的反射 Radiance；
• $f_r$​：两者之间的比例密度

也就是说,实际上 BRDF 描述的是每输入一单位 Irradiance，材质会在指定出射方向产生多少 Radiance(辐射度量学继续挖坑)

那么渲染方程中,完整的反射部分 ——

$$L_o^r(x,{\omega }_o)={\int }_{{\mathrm{\Omega }}^{+}}{L}_i(x,{\omega }_i)f_r(x,{\omega }_i,{\omega }_o)max(N\cdot {\omega }_i,0)d{\omega }_i$$

也就是对整个上半球面(来自四面八方的光)入射的光进行积分得到对于视角(相机)而言的 Radiance

那么如果对于离散的几个光源来说,确乎是可以写成离散的形式

$$L_o^r(x,{\omega }_o)=\sum _{j=1}^M{L}_{i,j}(x,{\omega }_{i,j})f_r(x,{\omega }_{i,j},{\omega }_o)max(N\cdot {\omega }_{i,j},0)V_j$$

物理限制

对于物理正确的BRDF,有如下约束 ——

非负性

也就是说 BRDF 不应该输出负数,即

$$f_r({\omega }_i,{\omega }_o)\ge 0$$

也很好理解,有光入射那么一定有光出射

能量守恒

固定一个入射方向后，把材质向所有出射方向反射的能量累加起来，不能超过输入能量,即

$${\int }_{{\mathrm{\Omega }}^{+}}{f}_r({\omega }_i,{\omega }_o)max(N\cdot {\omega }_o,0)d{\omega }_o\le 1$$

不过值得注意的是, BRDF 作为一个方向密度函数,当反射能量高度集中在很窄的方向范围时，局部值可以大于 1,所以真正受到限制的是对整个出射半球积分后的总反射能量

互易性

光路可逆有点像,即

$$f_r({\omega }_i,{\omega }_o)=f_r({\omega }_o,{\omega }_i)$$

也就是说交换入射方向和出射方向后，反射响应保持不变

漫反射和镜面反射

对于实际的材质来说,我们一般把 BRDF 拆解成两项来计算 ——

• $f_d$​：Diffuse BRDF，漫反射部分
• $f_s$​：Specular BRDF，镜面反射部分

写成公式——

$$f_r=f_d+f_s$$

不论是镜面反射还是漫反射都是 BRDF, 因为都描述了入射光线到出射光线之间的关系,区别主要就是光的物理路径和方向分布

漫反射

描述了入射光经过材质内部的吸收和散射后，重新从表面离开，并分布到较宽的方向范围

那么常见(最简单的)的漫反射 BRDF 是 Lambert ——

$$f_d(L,V)=\frac{{\rho }_d}{\pi }$$

• ${\rho }_d$​：漫反射反照率
• $\pi$ 用于能量归一化

其核心在于如下假设——

在固定的入射 Irradiance 下，表面向所有观察方向产生相同的 Radiance。

当然还有其他更高级的模拟方法,比如

• Oren–Nayar：用于粗糙漫反射表面
• Burley Diffuse：Disney PBR 中常见
• 专门的 Cloth Diffuse

(继续挖坑等填)

镜面反射

它描述的是光在材质表面或介质边界附近直接反射，并集中在某个特定方向附近 —— 所以具有非常强的方向性

• 观察方向和光线理想反射方向相近则镜面反射强
• 反之则非常弱

由初中知识可以得到,对于理想的镜面平面,有反射方向

$$R=I-2(N\cdot I)N$$

其中$I$是是指向表面的入射传播方向,它满足入射角等于反射角,但现实中绝大多数表面不会只反射到一个绝对精确的方向，而会在理想反射方向附近形成一个有宽度的分布 —— 此时就可以非常好的引入微表面模型 ——

微表面模型假设：宏观表面由大量尺寸远小于一个像素的微小平面组成，每个微表面本身都是理想镜面。宏观粗糙度不表示单个微表面变得模糊，而表示这些微表面的法线方向分布得更分散。

(在此之前简单提一嘴对于传统的 Blinn–Phong / Phong 模型,它们是是经验高光模型,不是物理上严谨的方法,不保证能量守恒)

那么微表面模型中常见的一种建模是Cook–Torrance 镜面 BRDF,它的公式为

$$f_s(L,V)=\frac{D(H)F(L,H)G(L,V)}{4(N\cdot L)(N\cdot V)}$$

• $D$,法线分布函数,可以说明有多少微表面“朝向正确”,因为只有法线接近 $H$ 的微表面，才能把光反射到相机。
• $F$,每个微表面反射多少光,它是 Fresnel 项,描述光照到一个微镜面后，有多少比例被反射(菲涅耳方程这块)
• $G$,微表面是否被遮挡,描述有多少潜在镜面反射真正没有被遮挡

那么完整的说明依旧挖坑

简单来说

所有微表面
    ↓
D：其中多少微表面朝向正确
    ↓
F：这些微表面反射多少光
    ↓
G：这些反射中有多少没有被遮挡
    ↓
得到镜面反射 BRDF

然后对于各向异性各向同性这些也是微表面模型中可以拓展的内容,后面再说,不影响主线

总结

BRDF 相当于描述了要渲染的材质的“表面反光能力” —— 其主要聚焦在反射光线的能力上