齐次坐标

非常神奇的做法, 把仿射变换和透视投影操作统一成了矩阵乘法操作. (虽然之前好像在 Games101 的笔记中简单稍微写了一点, 不过这次具体的再说说)

仿射变换

对于一个三维坐标, 它的缩放 / 旋转 都可以使用一个矩阵乘法表示 ——

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=M\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$

$M$ 即我们构造的变换矩阵. 但是平移却只能使用加法实现 ——

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\\ t_z\end{array}\right]$$

这样虽然没有问题, 我们先写出一次变换的通用形式 ——

$$T(p)=Ap+t$$

那么对于组合变换来说, 就是一堆类似的操作嵌套. 假设我们在当前的框架下按照操作顺序楞算, 绝对是没有问题的, 但是如果拓展到空间中的所有点呢? 如果我们有大量的点都需要做同样的变换, 那么按照一个一个嵌套的来算, 我们没有任何一个中间结果可以拿去复用. 于是这条计算管线就会非常贵. 那么假设我们可以先把这个嵌套操作给展开, 之后它依旧是一个 $T(p)=Ap+t$ 的形式, 那就非常的美丽. 然而如果在当前不统一的情况下, 这很贵 —— 因为每组合两次变换, 都会出现一个 $A^{\prime }{t}_1+t_2$ 这样的向量项需要计算.

此处的拦路虎是平移, 如果平移也可以使用矩阵乘法来实现的话, 我们就可以非常方便的左乘过去, 让最后的形式非常方便的写成 $T(p)=Mp$ 的形式. 非常的好. 我们在渲染管线中, 让每个点从局部坐标系到世界坐标系, 再经过 View, Projection 等操作, 这样比较固定的管线就可以很棒的抽离出来, 进行加速运算.

于是对于每一个点, 我们将其拓展到四维的齐次坐标系下 ——

$$(x,y,z)\to (x,y,z,1)$$

此时, 平移就可以写作 ——

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

不赖.

那么对于一个方向向量来说, 我们会把它表示成 $(x,y,z)\to (x,y,z,0)$, 这也很有意思, 我们可以把这个表示待会平移表达中 —— 那么点经过这次乘法之后最后一位还是 1, 表示这是一个点. 而带入方向向量则经过平移之后还是原来的表示, 没有任何变化 —— 因为平移不会改变方向向量.

所以加入的 $w$ 不仅统一了RTS操作, 也可以表明这是一个方向还是一个点.

不过值得注意的, 对于 $(x,y,z,1)$, 它与$(kx,ky,kz,k)$表示同一个点 —— 因为在使用的时候, 我们会将 $x,y,z$ 除 $w$ —— 透视除法这块(

透视投影

透视有一个非常核心的现象 —— 「近大远小」, 也就是在视觉上, 越远的东西看起来越小. 比如在一个简化的针孔摄像机的模型中(焦距 $f=1$), 那么屏幕坐标存在类似 —— (相似三角形)

$$x_{screen}=\frac{x}{z},y_{screen}=\frac{y}{z}$$

假设在 View 的空间中存在两个三维点 $(x_1,y_1,z_1)$ 和 $(x_2,y_2,z_2)$ 那么我们要“降维打击”在屏幕上显示 —— 使用上述的简单模型, 可以得到新屏幕空间的坐标表示为

$$(\frac{x_1}{z_1},\frac{y_1}{z_1}),(\frac{x_2}{z_2},\frac{y_2}{z_2})$$

假设$x_1=x_2,y_1=y_2$ —— 也就是两个点仅“深度”不同, 那么对于 $z_1<z_2$ —— 也就是第二个点更深, 那么它的点会更靠近屏幕中心, 也就是显得更小. 非常符合我们的透视关系 a

我们当然无法消去除法这个操作, 因为实际上矩阵乘法能做的仅是线性变换罢, 不过我们可以把“除法信息”压入一个矩阵, 也就是 Projection 矩阵来进行实现, 这样在最后仅需要做除 $w$ 的操作即可,

还是先说上述的最简单的情况, $f=1$, 相机在原点朝着 $-z$ 看, 并且近平面就是 $z=-1$, 对于一个空间坐标

$$(x,y,z)\to (\frac{x}{-z},\frac{y}{-z},-1)$$

然后由于是二维平面, 所以舍去最后的 -1 即得到我们投影在投影面上的结果了.所以如果我们可以构造一个矩阵, 使得

$$(x,y,z,1)\to (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },w^{\prime })$$

让这个点就表示我们透影之后的点不就好了? —— 因为上文说过, 我们在真的使用一个点的时候会执行一次除 $w$ 的“归一化”操作.

可以快速的得到, 此处构造出来的 Projection 为

$$P=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$$

也就是我们借助了一个 P 矩阵实现了把透视除法信息压入, 不赖. 不过实际上要复杂许多, 要考虑整个视锥体, 略复杂一些, 后面在计算机图形学中具体推导如何推导出那个情况下的 P 吧.

而且实际上情况下, 我们不会简单的让所有经过 P 的矩阵的 z 都为 -1, 这样会丢失掉深度信息, 导致之后深度测试/ early-z 之类的算法难于运作. 所以会构造一些更好的 P (实际上就是让乘法之后的 $z^{\prime }=Az+B$)