相机和视平面

简单的来说，光追干的事情是从每一个 pixel 向世界发送射线，然后进行反射折射等的计算，最终获得颜色来代表当前 pixel 所需要展示的颜色。

此篇聚焦在如何在各个空间中做变化，来从 0 开始向世界发出一条射线

不过实际上也非常的简单 —— 我们已经知道相机的位置，只需要知道要发射射线的那个像素的世界坐标即可

视平面

从第三人称的视角来看 —— 我们假装在相机前面一个单位距离的地方放置了一个“视平面”，上面的每一个点即为我们要的 pixel

确定视平面

那么先考虑第一个事情 —— 如何确定视平面在相机坐标系中的位置。

假设我们已经知道了 FOV 的角度（Vertical FOV），以及分辨率，那么由由于上一个 Block 说了，定义视平面距离相机位置为 1

所以

$$HalfHeight=\tan \left(\frac{FOV}{2}\right)$$

然后我们又知道了长和高的比值 aspect ratio 所以可以快速的计算出对应宽度

那么现在的“照片”像素位置就可以完美确定下来了

确定 uv

现在的 pixel(x, y) 对于整数 Pixel Index, $x\in [0,width-1]$，$y\in [0,height-1]$ 这不赖，只是它们并没有什么特殊的含义，于是我们进行第一次的“压缩”，将当前的视平面空间进行一次归一化，使得 $u,v\in [0,1]$

这样处理的另一个好处在于，我们可以让之后的计算和分辨率解耦 —— 比如对于不同分辨率的图片来说，它们的中心点是不同的，但是在 UV 表示下，都是 $(0.5,0.5)$

那么计算也非常的简单

$$u=\frac{x+0.5}{width},v=\frac{y+0.5}{height}$$

加上 $0.5$ 的原因 —— 使得计算的当前点处于像素中心

中心点偏移

上述压缩到 UV 已经很不错了，不过中心点是 $(0.5,0.5)$，而在我们的相机坐标系下，视平面的中心是 $(0,0)$，所以我们经过一次运算，使得原先的 $[0,1]$ 的范围映射到 $[-1,1]$ 的空间中，这样中心点就完美的处于$(0,0)$和视平面中心位置一致 —— 这样对于当前的 $x^{\prime },y^{\prime }$ 来说，它的大小即为在屏幕空间中的“拉伸”度量

计算依旧十分简单

$$x^{\prime }=2u-1;y^{\prime }=1-2v$$

相机坐标系表示

现在需要把归一化之后的坐标重新映射回屏幕坐标 ——

$$\begin{array}{c}planeX=x^{\prime }\ast HalfWidth\\ planeY=y^{\prime }\ast HalfHeight\end{array}$$

现在就是“绕了一圈”之后得到的视平面上的一个 pixel 在相机的局部坐标系下的表示了 ——

$$P_{camera}=(planeX,planeY,1)$$

世界坐标

现在把相机坐标系下的那个像素点映射到世界坐标即可

依旧十分甚至九分的简单 —— 此处的 $(planeX,planeY)$ 表示了在空间中沿着 Camera 坐标系中，要沿着 Right 和 Up 两个基向量移动多少，所以直接把 Right 和 Up 基向量在世界坐标系中的表示代入即可

也就是 ——

$$P_{world}=P_0+planeX\ast R+planeY\ast U$$

其中 $P_0$ 表示视平面坐标中心的世界坐标表示，并且

$$P_0=CameraCenterPosition+Forward$$

发射射线

现在有了像素点在世界坐标系中的表示，也有了相机位置的坐标，于是发射的 Ray 水到渠成，其方向为

$$Normalize(P_{pixel}-CameraPosition)$$

然后起始点即 $CameraPosition$

总结

当然，上述说的是一个理想化的针孔摄像机模型的计算链路，也就是所有的初始光线都从同一个 CameraPosition 出发，这样天然的会有透视等的效果。

不过对于不同的摄像机模型，会有不同的计算方式，不过大体的思路相通 —— 比如正交相机就可以是每个 Ray 的方向相同，诸如此类 —— 即找到一个合理的映射关系，使得 Pixel 的采样可以到一条 Ray