三角形与射线交点计算

在空间中，假设我们已经知道了三角形的三个点 $V_{0}, V_{1}, V_{2}$ 以及一条射线，其出发点为 $O$ ，其方向为 $D$

下面推导一下如何求取它们的交点

在这条射线上的点为

P (t) = O + t D

现在的目标即求解出一个 $t$ ，使得 $O + t D \in △ V_{0} V_{1} V_{2}$

我们可以得出三角形的两条边的向量：

\begin{matrix} \vec{E_{1}} = V_{1} - V_{0} \\ \vec{E_{2}} = V_{2} - V_{0} \end{matrix}

那么这个三角形所在平面上的点可以表示为

P = V_{0} + u \vec{E_{1}} + v \vec{E_{2}}

回代 $\vec{E_{1}}, \vec{E_{2}}$ 可以得到

P = (1 - u - v) V_{0} + u V_{1} + v V_{2}

记

ω = 1 - u - v

那么点 $P$ 在三角形内的条件即

u \geq 0, v \geq 0, u + v \leq 1

现在有了三角形的空间表示，我们要找的交点即使得 $P$ 可以用三角形的表示也可以用射线的表示，即

O + t D = V_{0} + u E_{1} + v E_{2}

很不幸的，我们现在有三个未知量

t, u, v

我们先进行一次整理，先移项

O - V_{0} = u E_{1} + v E_{2} - t D

如果我们记

T = O - V_{0}

那么原式可化为

T = u E_{1} + v E_{2} - t D

一个非常标准的三元一次方程组的求解，也可以写成矩阵的形式，直接上克莱姆，结束（

不过值得注意的是，此处大概率会把求行列式的操作使用混合积来实现，使得不需要引入新的向量运算（假设我们已提供了点积和叉乘的操作）

三角形与射线交点计算 ​